Regola di Merton: Portafoglio Ottimale
Quanta parte del patrimonio investire in azioni o ETF? La risposta del Premio Nobel Robert C. Merton (1969).
π* = quota ottimale asset rischioso • μ−r = premio al rischio • γ = avversione al rischio • σ = volatilità annua
MSCI World storico ~8–10%. Usa valori conservativi (6–8%).
BOT/BTP brevi, conto deposito. Attualmente ~3–3.5% lordo in Italia.
Deviazione standard annua. MSCI World ~15–18%, singolo paese ~20–25%.
Importo già disponibile. Può essere zero.
Risparmio mensile aggiuntivo. Inserisci 0 se non prevedi versamenti ricorrenti.
Anni totali di investimento per la simulazione.
🔬 Confronto portafogli alternativi
| Portafoglio | % Rischiosa | Rend. atteso | Volatilità | Sharpe | Mediana a 10a | Utilità CRRA |
|---|
* La Regola di Merton (1969) assume rendimenti log-normali, mercati continui e utilità CRRA costante. I risultati sono stime teoriche a scopo educativo e non costituiscono consulenza finanziaria. Per decisioni rilevanti rivolgersi a un consulente indipendente.
Cos’è la Regola di Merton
La Regola di Merton (o Merton Share) risponde alla domanda fondamentale di ogni risparmiatore: quanta parte del patrimonio investire in asset rischiosi (azioni, ETF) e quanta tenere in strumenti sicuri (BOT, BTP brevi, conto deposito)?
Robert C. Merton — Premio Nobel per l’Economia 1997 — dimostra nel suo articolo del 1969 che esiste una quota ottimale costante da mantenere nell’asset rischioso, indipendente dall’orizzonte temporale e dal livello di ricchezza. La formula è:
Premio al rischio / (avversione al rischio × varianza dell’asset rischioso)
- μ−r (premio al rischio): quanto in più rende l’asset rischioso rispetto al tasso sicuro. Se un ETF rende 8% e il BOT 3,5%, il premio è 4,5%. Più è alto, più conviene investire in azioni.
- γ (CRRA): misura l’avversione al rischio. γ=1 corrisponde al criterio di Kelly; γ=2–3 è moderato; γ=5–8 è molto prudente.
- σ² (varianza): il quadrato della volatilità, non la deviazione standard. Raddoppiare la volatilità dimezza la quota ottimale. L’effetto è quadratico perché il rischio del portafoglio cresce con il quadrato dell’esposizione.
Una proprietà sorprendente è la miopia di portafoglio: la quota ottimale è la stessa indipendentemente dall’orizzonte temporale. Le estensioni del modello che includono il capitale umano (reddito futuro da lavoro) giustificano però una maggiore esposizione azionaria per i giovani lavoratori.
Esempio pratico
Lucia, 35 anni, 60.000€ da investire + 300€/mese di risparmio. ETF MSCI World μ=8%, BOT r=3,5%, σ=18%, avversione γ=3 (moderata).
Domande frequenti
Come conosco il mio γ?
γ misura l’avversione relativa al rischio CRRA. Stima pratica: preferiresti 1.000€ certi o un lancio di moneta tra 0€ e X€? Se X=2.050€ sei a γ≈1 (molto aggressivo); X=2.200€ → γ≈2; X=2.600€ → γ≈3; oltre X=3.000€ → γ>4 (conservativo). La letteratura empirica colloca la maggioranza degli investitori retail tra γ=2 e γ=5.
Perché σ² e non σ nel denominatore?
Deriva dalla matematica del calcolo stocastico: massimizzando l’utilità attesa con dinamica Browniana, il termine di rischio è quadratico in πσ. La condizione del primo ordine produce esattamente π*=(μ-r)/(γσ²). Usare σ invece di σ² darebbe un risultato privo di fondamento matematico.
L’età non conta nella quota ottimale?
Sotto le ipotesi originali del modello, la quota è costante nel tempo. Nella pratica, le estensioni con capitale umano giustificano più azioni da giovani: un 30enne con 35 anni di lavoro davanti è come avere una grande “obbligazione umana” implicita nel portafoglio.
Come viene calcolato il versamento mensile?
Il versamento mensile viene allocato nella stessa proporzione del capitale iniziale: π* in asset rischiosi, (1−π*) in risk-free. Nella simulazione Monte Carlo ogni anno si aggiungono 12 rate mensili rivalutate al rendimento del periodo. La mediana e i percentili includono sia il capitale iniziale che i versamenti accumulati.
Cosa succede se π* supera il 100%?
La formula suggerisce leva finanziaria (investire più del capitale disponibile). Teoricamente valido per bassa avversione al rischio. Nella pratica ha costi di finanziamento e amplifica le perdite. Il tool tronca a 100% ma segnala la situazione.
Quali sono i limiti della Regola di Merton?
Il modello assume: rendimenti log-normali (i mercati reali hanno code pesanti); parametri stabili nel tempo; nessun costo di transazione; ribilanciamento continuo. Nonostante questi limiti, è la migliore guida quantitativa disponibile per l’allocazione strategica di lungo periodo.